[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.ÿþ52 Turbo Pascal  programowanieRozwiÄ…zujemydowolne równanieProblem rozwiÄ…zania dowolnego równania nie należy bynajmniej do zadaÅ„ typukamienia filozoficznego czy uniwersalnego rozpuszczalnika.Chociaż dla pewnych klasrównaÅ„ istniejÄ… dawno opracowane wzory i metody, spora grupa równaÅ„ nieliniowychnie daje siÄ™ rozwiÄ…zać  na papierze w sposób dokÅ‚adny.Nie oznacza to jednak, że niemożna ich w ogóle rozwiÄ…zać: kwestii przybliżonego rozwiÄ…zywania równaÅ„ nielinio-wych poÅ›wiÄ™cono z niezÅ‚ym skutkiem spory dziaÅ‚ matematyki znany jako metodynumeryczne.W niniejszym rozdziale spróbujemy zademonstrować jednÄ… z najprost-szych metod rozwiÄ…zywania równaÅ„ nieliniowych  tak zwanÄ… metodÄ™ bisekcji.Jestona na tyle prosta, że praktycznie nie wymaga znajomoÅ›ci skomplikowanej matematyki(a jedynie logicznego myÅ›lenia), a jednoczeÅ›nie caÅ‚kiem skuteczna.f(x)c4 c3 c1 bxa c2cRysunek 9.Zasada dziaÅ‚ania metody bisekcjiZałóżmy, że chcemy znalez
ć miejsce zerowe funkcji f(x) przedstawionej powyżej.Szukamy więc takiego punktu c na osi x, dla którego f(c) = 0.Wybierając na osi x dwapunkty a i b takie, by wartości f(a) i f(b) miały przeciwne znaki, możemy z pewnościąstwierdzić, że funkcja ma pomiędzy a i b co najmniej jedno miejsce zerowe (gdyż musigdzieś przeciąć oś x).Podzielmy przedział pomiędzy a i b na dwie równe części.War-tość funkcji w nowo uzyskanym punkcie c1 ma nadal znak przeciwny do f(a), a zatemmiejsce zerowe leży gdzieś pomiędzy a i c1.Podzielmy nowo uzyskany przedział napołowy: tym razem okazuje się, że wartość funkcji w punkcie c2 ma znak przeciwny do Rozwiązujemy dowolne równanie 53f(c1), a więc miejsce zerowe leży pomiędzy c1 a c2.Wykonując kolejne podziałydojdziemy w końcu do punktu.no, właśnie.Zauważ, że z każdym kolejnym podziałemzbliżamy się do miejsca zerowego coraz wolniej: za każdym razem przedział poszuki-wania zawężany jest dwukrotnie, tak więc (teoretycznie) dokładne położenie miejscazerowego (odpowiadające przedziałowi o zerowej szerokości, czyli pojedynczemupunktowi) osiągniemy po nieskończonej liczbie podziałów.Chyba nie masz zamiaruczekać aż tak długo!Rozwiązaniem tego problemu jest właściwe sformułowanie tzw.kryterium zakończeniaobliczeń lub kryterium stopu.W naszym przypadku kolejne cykle podziałów (zwanefachowo iteracjami) będziemy prowadzili tak długo, aż bezwzględna wartość funkcjiw punkcie cn zmaleje poniżej zadanego progu.Spróbujmy zapisać w bardziej formalny sposób pojedynczy podział:początekwyznacz punkt c w połowie odległości pomiędzy a i bjeżeli f(a) ma znak różny od f(c), to przenieś punkt b do punktu cw przeciwnym przypadku przenieś punkt a do punktu ckoniecAle jak zabrać się za wykonywanie kolejnych podziałów? Oczywiście nie będziesz mu-siał wielokrotnie wpisywać odpowiednich instrukcji: zamiast tego wykorzystasz do ichcyklicznego wykonywania instrukcję pętli.Spośród trzech dostępnych w Pascalu struktur pętli do realizacji naszego zadaniaodpowiednie są dwie  while i repeat (trzecią pętlą, for, zajmiemy się niecopóz
niej).Należą one do grupy pętli sterowanych warunkiem, co oznacza, że wykonująsię tak długo, jak długo spełnione będzie odpowiednie kryterium (while  powtarzaj,dopóki.) lub do momentu, kiedy zostanie ono spełnione (repeat  powtarzaj, aż.).Nie trzeba chyba dodawać, że owym kryterium będzie właśnie nasze kryterium stopu:zakończ iteracje, jeśli wartość bezwzględna f(c) jest mniejsza od zadanego progu.Której instrukcji użyć? W zasadzie w naszym przypadku jest to obojętne.Działaniepętli while i repeat jest bardzo zbliżone, zaś różnica sprowadza się do faktu, żew pierwszej z nich warunek przerwania pętli sprawdzany jest na początku:while warunekdo instrukcjazaś w drugiej  na końcu pętli:repeat instrukcjauntil warunekW konsekwencji instrukcje tworzące zawartość pętli repeat muszą wykonać się conajmniej raz, zaś w przypadku pętli while mogą nie wykonać się ani razu (jeśli waru-nek będzie od razu spełniony).Ponadto musisz pamiętać, że sformułowanie warunkujest dla obu pętli dokładnie przeciwne (pętla while wykonuje się tak długo, jak długo54 Turbo Pascal  programowaniewarunek jest spełniony, repeat  tak długo, jak długo jest niespełniony).Zapamiętajrównież, że umieszczając kilka instrukcji w pętli while musisz połączyć je w instrukcjęzłożoną słowami begin i end, zaś w przypadku pętli repeat konieczność ta niewystępuje (ogranicznikami instrukcji złożonej są tu słowa repeat i until).Spróbujmy zapisać nasz algorytm z wykorzystaniem pętli repeat.Będzie on wyglądałmniej więcej tak:początekwprowadz
wartoÅ›ci kraÅ„ców przedziaÅ‚u i dokÅ‚adnoÅ›cipowtarzajwyznacz punkt c w poÅ‚owie odlegÅ‚oÅ›ci pomiÄ™dzy a i bjeżeli f(a) ma znak różny od f(c), to przenieÅ› punkt b do punktu cw przeciwnym przypadku przenieÅ› punkt a do punktu caż do momentu, gdy wartość bezwzglÄ™dna f(c) jest mniejsza od zadanego proguwypisz znalezione miejsce zerowekoniecZałóżmy, że chcemy rozwiÄ…zać równanie1 - esin xÅ"cos x = 0posiadajÄ…ce (jak nietrudno obliczyć na kartce) pierwiastek w punkcie x = 0.TÅ‚umaczÄ…cpowyższy schemat na angielski (i Pascal) otrzymamy nastÄ™pujÄ…cy program:program Bisekcja;varbeginwriteln('Program znajduje miejsce zerowe funkcji')writeln('w przedziale [a;b]');readln(a);write('Podaj wartosc b: ');readln(b);write('Podaj dokladnosc: ');readln(eps);repeatif (1 - exp(sin(a)*cos(a)))*(1 - exp(sin(c)*cos(c))) [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ]